Vier paarden

Groep 5 t/m 8 · 70 minuten · meetkunde · met ontwerpopdracht

Deel I | Vier paarden op een schaakbord

Dit is een heel moeilijke puzzel. Zo moeilijk dat de meeste kinderen hem binnen de les niet oplossen. Juist hierom geef ik hem aan mijn leerlingen.

De kinderen in mijn plusklas zijn er meestal aan gewend dat werk snel afgaat. Ze lezen een opdracht, zien het antwoord, schrijven het op. Dat is een prettige gewoonte, tot ze iets tegenkomen waar die gewoonte niet werkt. Dan blijkt dat ze niet vaak hebben hoeven oefenen wat je doet als je het níét meteen ziet.

Doorzetten als het moeilijk is, is bij deze les geen randvoorwaarde maar het leerdoel zelf.

De opdracht

Deze puzzel is van Henry Dudeney, een Engelse puzzelmaker uit het begin van de vorige eeuw. Op een schaakbord van 8 bij 8 staan vier paarden. Verdeel het bord in vier stukken die precies even groot zijn én precies dezelfde vorm hebben. Op elk stuk staat één paard.

1. Elk stuk heeft evenveel vakjes als de andere stukken.
2. Elk stuk heeft dezelfde vorm als de andere. Draaien mag, spiegelen mag ook.
3. Op elk stuk staat precies één paard.
4. Je knipt of tekent alleen langs de lijnen van de vakjes.
5. Elk stuk is één geheel. Geen losse vakjes, geen vakjes die alleen met een puntje vastzitten.

Zeg vooraf hoe moeilijk het is

Ik vertel de kinderen aan het begin dat de puzzel waarschijnlijk niet lukt binnen de tijd, dat dat de bedoeling is, en dat ze niet worden afgerekend op het antwoord.

Dat lijkt een kleinigheid, maar het verandert waar de opdracht over gaat. Zonder die mededeling staat niet-opgelost gelijk aan mislukt, en dan gaan kinderen gokken om toch íéts op papier te hebben. Mét die mededeling mogen ze de tijd nemen om een idee eerst te onderzoeken en daarna weg te gooien. Dat is precies het denkwerk waar het om draait.

Waarom de paarden staan waar ze staan

64 vakjes gedeeld door vier is 16. Zodra een kind dat heeft uitgerekend, liggen er drie verdelingen voor de hand:

• vier kwadranten van 4×4
• vier liggende stroken van 8×2
• vier staande stroken van 2×8

Alle drie voldoen ze aan regel 1, 2, 4 en 5. Ze zijn even groot, ze hebben dezelfde vorm, ze lopen langs de lijnen en ze zijn aaneengesloten.

Wat ze onmogelijk maakt is regel 3. De vier paarden staan namelijk allemaal in hetzelfde kwadrant, linksonder. Daar zit de moeilijkheid van deze puzzel, en dat is ook de reden dat hij zo lang standhoudt tegen kinderen die gewend zijn snel te zijn.

De tip die ze weer op gang helpt

Op het werkblad staan vier tips die de kinderen zelf mogen lezen wanneer ze willen. Maar de zin die het meeste losmaakt, geef ik mondeling, en pas als iemand echt vastzit: “De vorm is als een slang van één hokje breed.” Zeggen dat die bochten heeft, is overbodig, gezien de zestien vakjes waaruit de vorm bestaat.

Zo verdeel ik de 70 minuten

• Rekenen voor je tekent (10 min). Voordat er één potlood het papier raakt: hoeveel vakjes heeft het bord? Hoeveel krijgt elk stuk? Wat weet je nu al over de vorm? En dan de belangrijkste: schrijf je eerste plan op. Dat opschrijven maakt het plan zichtbaar en daarmee bespreekbaar; je kunt er later naar terugwijzen.
• Zelfstandig proberen (25 min). Potlood en gum. Het werkblad heeft drie lege borden, zodat opnieuw beginnen ingebouwd zit in plaats van een teken van falen is.
• Uitwisselen (20 min). Niet: wie had het goed. Maar: hoeveel verschillende ideeën heb je geprobeerd, en hoe wist je dat een idee niet ging werken?
• Terugkijken (15 min). Dit is het belangrijkste kwartier.

Benoem aan het eind wat ze wél hebben gedaan

Aan het eind zit er vaak geen enkele opgeloste puzzel in de groep. Dat is het moment waarop je moet zeggen wat er dan wél is gebeurd.

Wie niet heeft opgegeven, heeft gedaan waar de les om vroeg. Wie een idee heeft weggestreept mét een reden, heeft geredeneerd in plaats van gegokt. Wie op de derde poging nog steeds zat na te denken, heeft zijn hersenen 70 minuten lang echt aan het werk gehad. Dat is de opbrengst, ook zonder antwoord.

Ik maak dat concreet met drie vragen. Wil je weten welke? Download dan gratis het document met werkbladen en leerdoelen.

De oplossing

Toon de oplossing

Voor zover ik heb kunnen nagaan is er maar één, op spiegeling na: een spiraal van zestien vakjes.

Deel II | Verdiepingsopdracht: puzzel ontwerpen

Nu luidt de opdracht: maak een puzzel op een schaakbord voor een klasgenoot.

Op het ontwerpblad staat één leeg bord waarop het kind alleen de schaakstukken zet. Daaronder een schrijfveld: wat moeten puzzelaars doen en welke regels gelden daarbij? Op de achterkant tekent de leerling de oplossing.

Ik laat bewust “schaakstukken” staan en niet “paarden”. Een kind mag torens of pionnen gebruiken en mag ook heel andere regels bedenken. Daarmee is het geen invuloefening meer: ze ontwerpen een compleet regelsysteem én moeten dat zo opschrijven dat een ander het begrijpt.

Deel III | Testronde: elkaars puzzels controleren

In plaats van dat ik alle puzzels van feedback voorzie, heb ik de kinderen elkaars puzzel laten maken (iedere puzzel twaalf keer gekopieerd).

Ieder kind kreeg van ieder ander feedback op zijn/haar puzzel. En dan blijkt dat je zelf soms denkt heel duidelijk te zijn, maar dat je te veel info niet opschrijft, of de boel te ingewikkeld maakt.

De juf kreeg ook feedback: of het vakje voor de omschrijving en regels niet wat groter kon? Op het nieuwe blad staat de herziene versie, en die komt in ons Grote SchaakbordPuzzelBoek.

Product | Alle uitgeteste puzzels samen in een boekje

De losse ontwerpbladen bundel ik tot één puzzelboekje, met boven elke pagina een naam: puzzel van …

Dat is meer dan een leuke afronding. Zodra een kind weet dat zijn puzzel in een boekje komt dat anderen echt gaan maken, verandert de norm waaraan hij zijn eigen werk meet. Een half doordachte puzzel kan dan niet meer, en onduidelijke regels werden herschreven, zonder dat ik daar veel voor hoef te doen.

Het geeft ook antwoord op een vraag die bij deze kinderen vaak onder de oppervlakte ligt: waar is dit eigenlijk voor?